50. Найдите множество решений неравенств: 1) $\log_5 x+\log_5(x+4)>1$; 2) $\log_{0{,}5}(x+1)+\log_{0{,}5}(x-2)>-2$; 3) $\log_{0{,}1}(x-1)+\log_{0{,}1}x>\log_{0{,}1}(x+3)$; 4) $\log_3(2x+1)-\log_3(x+5)>1-\log_3(x-1)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 50. Найдите множество решений неравенств: 1) $\log_5 x+\log_5(x+4)>1$; 2) $\log_{0{,}5}(x+1)+\log_{0{,}5}(x-2)>-2$; 3)…$ Фото задания

50. Найдите множество решений неравенств: 1) $\log_5 x+\log_5(x+4)>1$; 2) $\log_{0{,}5}(x+1)+\log_{0{,}5}(x-2)>-2$; 3) $\log_{0{,}1}(x-1)+\log_{0{,}1}x>\log_{0{,}1}(x+3)$; 4) $\log_3(2x+1)-\log_3(x+5)>1-\log_3(x-1)$.

Accepted Answer

1) Область определения: $x>0$. Объединяем логарифмы: $\log_5[x(x+4)]>1$, поэтому $x^2+4x>5$. Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ — $-5$ и $1$; с учётом области определения получаем $x>1$.

2) Область определения: $x>2$. Получаем $\log_{0{,}5}[(x+1)(x-2)]>-2$. Поскольку основание меньше 1, $(x+1)(x-2)<4$, то есть $x^2-x-6<0$. Пересечение с областью определения: \(2

3) Область определения: $x>1$. Так как основание меньше 1, из $\log_{0{,}1}[x(x-1)]>\log_{0{,}1}(x+3)$ следует \(x(x-1)

4) Область определения: $x>1$. Представим правую часть как $\log_3\frac3{x-1}$. После объединения логарифмов и сравнения аргументов получаем $(2x+1)(x-1)^2>3(x+5)$, или $2x^3-3x^2-3x-14>0$. Левая часть строго возрастает при $x>1$ после единственного минимума, а уравнение имеет единственный корень $\alpha$ в области $x>1$ ($\alpha\approx2{,}871$). Поэтому решение: $x>\alpha$.

Ответ: 1) $(1,+\infty)$; 2) $(2,3)$; 3) $(1,3)$; 4) $(\alpha,+\infty)$, где $\alpha$ — единственный корень $2x^3-3x^2-3x-14=0$ при $x>1$ (приблизительно $2{,}871$).

50. Найдите множество решений неравенств: 1) \(\log_5 x+\log_5(x+4)>1\); 2) \(\log_{0{,}5}(x+1)+\log_{0{,}5}(x-2)>-2\); 3) \(\log_{0{,}1}(x-1)+\log_{0{,}1}x>\log_{0{,}1}(x+3)\); 4) \(\log_3(2x+1)-\log_3(x+5)>1-\log_3(x-1)\).

Ответ: