51. Решите неравенства: 1) $\log_{0{,}5}^2(x-1)\le4$; 2) $\log_3^2x-2\log_3x-8>0$; 3) $\log_{1/2}^2x-3\log_2x-4<0$; 4) $2\log_{1/4}^2(x+2)+3\log_{1/4}(x+2)<2$; 5) $\log_{0{,}1}^2(-x)-0{,}25\log_{0{,}1}x^4\le2$; 6) $\lg x^2\cdot\lg(0{,}0001x)\le10$; 7) $\frac{\log_3^2x+\log_3x-20}{\log_3x-2}<0$; 8) $3\lg x+3\log_x10\ge10$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 51. Решите неравенства: 1) $\log_{0{,}5}^2(x-1)\le4$; 2) $\log_3^2x-2\log_3x-8>0$; 3) $\log_{1/2}^2x-3\log_2x-4<0$;…$ Фото задания

51. Решите неравенства: 1) $\log_{0{,}5}^2(x-1)\le4$; 2) $\log_3^2x-2\log_3x-8>0$; 3) $\log_{1/2}^2x-3\log_2x-4<0$; 4) $2\log_{1/4}^2(x+2)+3\log_{1/4}(x+2)<2$; 5) $\log_{0{,}1}^2(-x)-0{,}25\log_{0{,}1}x^4\le2$; 6) $\lg x^2\cdot\lg(0{,}0001x)\le10$; 7) $\frac{\log_3^2x+\log_3x-20}{\log_3x-2}<0$; 8) $3\lg x+3\log_x10\ge10$.

Accepted Answer

1) Пусть $t=\log_{0{,}5}(x-1)$. Тогда $-2\le t\le2$. Основание меньше 1, поэтому $0{,}25\le x-1\le4$, откуда $x\in[1{,}25,5]$.

2) Пусть $t=\log_3x$. Тогда $t^2-2t-8=(t-4)(t+2)>0$, то есть $t<-2$ или $t>4$. Следовательно, $x\in(0,1/9)\cup(81,+\infty)$.

3) Положим $t=\log_2x$, тогда $\log_{1/2}x=-t$. Неравенство становится $t^2-3t-4<0$, то есть \(-1

4) Пусть $t=\log_{1/4}(x+2)$. Получаем $2t^2+3t-2<0$, откуда \(-2

5) Область определения: $x<0$. Положим $t=\log_{0{,}1}(-x)$. Так как $\log_{0{,}1}x^4=4t$, имеем $t^2-t-2\le0$, откуда $-1\le t\le2$. Следовательно, $0{,}01\le -x\le10$, то есть $x\in[-10,-0{,}01]$.

6) Область определения: $x>0$. Пусть $t=\lg x$. Тогда $\lg x^2=2t$, а $\lg(0{,}0001x)=t-4$. Получаем $2t(t-4)\le10$, или $(t-5)(t+1)\le0$. Значит, $-1\le t\le5$, откуда $x\in[0{,}1,100000]$.

7) Пусть $t=\log_3x$, причём $t\ne2$. Тогда $\frac{t^2+t-20}{t-2}<0$, то есть $\frac{(t+5)(t-4)}{t-2}<0$. Метод интервалов даёт $t<-5$ или \(2

8) Пусть $t=\lg x$; здесь $t\ne0$, а $\log_x10=1/t$. Получаем $3t+3/t\ge10$, или $\frac{3t^2-10t+3}{t}\ge0$. Корни числителя — $1/3$ и $3$; метод интервалов даёт \(0

Ответ: 1) $[1{,}25,5]$; 2) $(0,1/9)\cup(81,+\infty)$; 3) $(1/2,16)$; 4) $(-3/2,14)$; 5) $[-10,-0{,}01]$; 6) $[0{,}1,100000]$; 7) $(0,1/243)\cup(9,81)$; 8) $(1,\sqrt[3]{10}]\cup[1000,+\infty)$.