50. В квадратной комнате под потолком на одной высоте вбито 6 гвоздей. Сколькими способами можно натянуть верёвку так, чтобы она проходила от одной стенки до другой (верёвка соединяет два гвоздя)?

Решение:

У нас есть 6 гвоздей, и нам нужно выбрать 2 из них, чтобы натянуть верёвку. Это задача на комбинаторику, на нахождение числа сочетаний из 6 по 2.

Формула для числа сочетаний:

$$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Где \( n \) — общее количество предметов (гвоздей), а \( k \) — количество выбираемых предметов (точек для верёвки).

В нашем случае \( n = 6 \) и \( k = 2 \).

$$ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 $$

Таким образом, можно натянуть верёвку 15 способами.

Ответ: 15