51. Какое наибольшее число треугольников можно получить на рисунке, если провести ещё один отрезок, соединяющий две точки из точек А, В, С, D, E, F?

Решение:

На рисунке уже есть несколько треугольников, образованных пересекающимися отрезками.

Исходные точки: А, В, С, D, E, F.

Рассмотрим имеющиеся треугольники:

• {\(\triangle ABC\)}
• {\(\triangle AFC\)}
• {\(\triangle BCE\)}
• {\(\triangle CDE\)}
• {\(\triangle CFD\)}
• {\(\triangle ABF\)}
• {\(\triangle AFE\)}
• {\(\triangle ABE\)}
• {\(\triangle ACD\)}
• {\(\triangle ADF\)}
• {\(\triangle ACF\)}
• {\(\triangle AEB\)}
• {\(\triangle ADB\)}
• {\(\triangle AEC\)}
• {\(\triangle ADC\)}
• {\(\triangle AE D\)}
• {\(\triangle BCF\)}
• {\(\triangle BED\)}
• {\(\triangle BFC\)}
• {\(\triangle BFA\)}
• {\(\triangle CDA\)}
• {\(\triangle CDB\)}
• {\(\triangle CDB\)}
• {\(\triangle CEF\)}
• {\(\triangle DEA\)}
• {\(\triangle DEC\)}
• {\(\triangle DFB\)}
• {\(\triangle EFA\)}
• {\(\triangle EFB\)}
• {\(\triangle EFC\)}

Изначально на рисунке мы можем насчитать 18 треугольников.

Если добавить еще один отрезок, соединяющий две любые точки, это может увеличить количество треугольников. Максимальное количество треугольников получится, если новый отрезок проходит через центр и делит существующие фигуры, создавая новые треугольники.

Рассмотрим, какой отрезок добавит больше всего треугольников.

Если провести отрезок AF:

Появляются новые треугольники:

• {\(\triangle ABF\)}
• {\(\triangle ACF\)}
• {\(\triangle AEF\)}
• {\(\triangle BCF\)}
• {\(\triangle CDF\)}
• {\(\triangle EDF\)}

Итого, с новым отрезком AF, мы получаем:

3 (исходные большие треугольники) + 3 (маленькие треугольники, образованные AC, AE, AF) + 3 (маленькие треугольники, образованные BC, CD, DE) + 9 (остальные треугольники) = 18.

Максимальное число треугольников получается, если соединить точки, которые создают наибольшее количество пересечений. Если провести отрезок от A до D, он пересечет BC и EF, создавая новые треугольники.

Самый большой набор треугольников получается, если провести отрезок, который делит существующие фигуры наибольшим образом.

Например, соединив точки A и D, мы получим:

• {\(\triangle ABC\)}
• {\(\triangle ACD\)}
• {\(\triangle ADE\)}
• {\(\triangle ABF\)}
• {\(\triangle AFC\)}
• {\(\triangle ADF\)}
• {\(\triangle AFE\)}
• {\(\triangle BCF\)}
• {\(\triangle CDE\)}
• {\(\triangle CEF\)}
• {\(\triangle ADF\)}

Без добавления отрезка уже есть 18 треугольников. Добавление одного отрезка может добавить не более 3-4 треугольников, если он проходит через центр или вершины.

С точки зрения максимизации, отрезок, соединяющий две противоположные точки (если бы они были), дал бы наибольшее деление. Например, отрезок FD пересекает AC и BE. Отрезок AE пересекает BF и CD.

Пересчитаем все возможные треугольники на рисунке:

1. \(\triangle ABC\)

2. \(\triangle ACF\)

3. \(\triangle BCE\)

4. \(\triangle CDE\)

5. \(\triangle CFD\)

6. \(\triangle ABF\)

7. \(\triangle AFE\)

8. \(\triangle ADC\)

9. \(\triangle BCD\)

10. \(\triangle BDE\)

11. \(\triangle ABD\)

12. \(\triangle ACE\)

13. \(\triangle ADE\)

14. \(\triangle BEF\)

15. \(\triangle BFC\)

16. \(\triangle CDF\)

17. \(\triangle DEF\)

18. \(\triangle AB E\)

Если провести отрезок AD, то появятся новые треугольники:

• {\(\triangle ABD\)}
• {\(\triangle ACD\)}
• {\(\triangle ADE\)}
• {\(\triangle ABF\)}
• {\(\triangle ADF\)}
• {\(\triangle AFC\)}
• {\(\triangle AFE\)}

Тогда общее число будет 18 + 3 (при добавлении AD, новых треугольников 3) = 21.

Если провести отрезок BE:

• {\(\triangle BCE\)}
• {\(\triangle BDE\)}
• {\(\triangle BFA\)}
• {\(\triangle BFC\)}
• {\(\triangle BEF\)}

Итого 18 + 3 = 21.

Если провести отрезок CF:

• {\(\triangle ACF\)}
• {\(\triangle BCF\)}
• {\(\triangle CDF\)}
• {\(\triangle CEF\)}

Итого 18 + 3 = 21.

Если провести отрезок AD, то мы получим 21 треугольник. Если провести отрезок FC, то мы также получим 21 треугольник. А если соединить точки, которые дадут наибольшее количество пересечений, например, соединить A и D, то мы получим 3 новых треугольника. То есть 18 + 3 = 21.

Ответ: 21