506. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней. б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

Решение:

Прямоугольный параллелепипед имеет длину (a), ширину (b) и высоту (c).

Дано: a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см.

а) Площадь основания и боковой поверхности:

У прямоугольного параллелепипеда три пары равных граней. Основанием может быть любая из этих пар.

1. Вариант 1: Основание 3 см × 4 см.
   S_{основания} = 3 × 4 = 12 см^2.
   Высота = 5 см.
   Периметр основания = 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14 см.
   S_{боковой} = Периметр × Высота = 14 × 5 = 70 см^2.
2. Вариант 2: Основание 3 см × 5 см.
   S_{основания} = 3 × 5 = 15 см^2.
   Высота = 4 см.
   Периметр основания = 2 × (3 + 5) = 2 × 8 = 16 см.
   S_{боковой} = Периметр × Высота = 16 × 4 = 64 см^2.
3. Вариант 3: Основание 4 см × 5 см.
   S_{основания} = 4 × 5 = 20 см^2.
   Высота = 3 см.
   Периметр основания = 2 × (4 + 5) = 2 × 9 = 18 см.
   S_{боковой} = Периметр × Высота = 18 × 3 = 54 см^2.

б) Площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности равна сумме площадей всех граней. Общая формула: S_{полной} = 2 × (ab + ac + bc).

S_{полной} = 2 × (3 × 4 + 3 × 5 + 4 × 5) = 2 × (12 + 15 + 20) = 2 × 47 = 94 см^2.

Объяснение:

В задании «а» три разных ответа получаются потому, что в условии не указано, какая именно грань является основанием. Мы можем выбрать любую из трёх пар противоположных граней как основание, и тогда длина оставшегося ребра будет высотой. Это приводит к трём разным значениям площади основания и, соответственно, к трём разным значениям боковой поверхности.

Ответ: а) Возможны три варианта: 12 см^2 (основание) и 70 см^2 (боковая поверхность); 15 см^2 (основание) и 64 см^2 (боковая поверхность); 20 см^2 (основание) и 54 см^2 (боковая поверхность). б) 94 см^2.