506. Упростить выражение: 1) $2\cos 40°\cdot\cos 50°$; 2) $2\sin 25°\cdot\sin 65°$; 3) $\sin 2\alpha+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2$; 4) $\cos 4\alpha+\sin^2 2\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 506. Упростить выражение: 1) $2\cos 40°\cdot\cos 50°$; 2) $2\sin 25°\cdot\sin 65°$; 3) \(\sin…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\cos 50°=\sin 40°$, получаем:
$2\cos 40°\cos 50°=2\sin 40°\cos 40°=\sin 80°$.
Так как $\sin 65°=\cos 25°$, получаем:
$2\sin 25°\sin 65°=2\sin 25°\cos 25°=\sin 50°$.
Раскроем квадрат и применим формулы $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
$\sin 2\alpha+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Используем $\cos 4\alpha=1-2\sin^2 2\alpha$:
$\cos 4\alpha+\sin^2 2\alpha=1-\sin^2 2\alpha=\cos^2 2\alpha$.

Ответ: 1) $\sin 80°$; 2) $\sin 50°$; 3) $1$; 4) $\cos^2 2\alpha$.

506. Упростить выражение: 1) \(2\cos 40°\cdot\cos 50°\); 2) \(2\sin 25°\cdot\sin 65°\); 3) \(\sin 2\alpha+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2\); 4) \(\cos 4\alpha+\sin^2 2\alpha\).