508. Доказать тождества: 1) $\sin 2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1$; 2) $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\sin 2\alpha$; 3) $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos 2\alpha$; 4) $2\cos^2\alpha-\cos 2\alpha=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 508. Доказать тождества: 1) $\sin 2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1$; 2) $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\sin 2\alpha$; 3)…$ Фото задания

508. Доказать тождества: 1) $\sin 2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1$; 2) $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\sin 2\alpha$; 3) $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos 2\alpha$; 4) $2\cos^2\alpha-\cos 2\alpha=1$.

Accepted Answer

Правая часть:
$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$.
Она равна левой части.
Левая часть:
$(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1-\sin 2\alpha$.
Тождество доказано.
Разложим разность квадратов и используем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
$\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos 2\alpha\cdot1=\cos 2\alpha$.
По формуле двойного угла $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$:
$2\cos^2\alpha-\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-(2\cos^2\alpha-1)=1$.

508. Доказать тождества: 1) \(\sin 2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1\); 2) \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\sin 2\alpha\); 3) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos 2\alpha\); 4) \(2\cos^2\alpha-\cos 2\alpha=1\).

Ответ: