Вычислить \(\sin 2\alpha\), если: 1) \(\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac12\); 2) \(\sin\alpha-\cos\alpha=1\).

1. Возведём условие в квадрат:

   \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\dfrac14\).

   Так как \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha\), имеем \(1+\sin 2\alpha=\dfrac14\), откуда \(\sin 2\alpha=-\dfrac34\).

2. Возведём условие в квадрат:

   \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1\).

   Так как \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\sin 2\alpha\), получаем \(1-\sin 2\alpha=1\), следовательно, \(\sin 2\alpha=0\).

Ответ: 1) \(-\dfrac34\); 2) \(0\).