51. Докажите, что прямая m параллельна плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.

В условии, вероятно, есть опечатка: параллельны плоскости β должны быть две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости α, а не прямая m и плоскость α. В таком виде утверждение доказывается следующим образом.

1. Пусть прямые m и n пересекаются, лежат в плоскости α и параллельны плоскости β. Предположим, что α и β пересекаются по прямой l.
2. Так как m лежит в α и не пересекает β, прямая m не пересекает l. Следовательно, m параллельна l. Аналогично n параллельна l.
3. Но две пересекающиеся прямые m и n не могут быть обе параллельны одной прямой l: тогда m и n были бы параллельны друг другу, что противоречит условию.
4. Значит, плоскости α и β не пересекаются, то есть параллельны.

Ответ: α ∥ β.