54. Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P — середины отрезков BA, BC и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

а) В треугольнике \(BAC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BA\) и \(BC\). Поэтому по теореме о средней линии треугольника

\[MN \parallel AC.\]

В треугольнике \(BAD\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(BA\) и \(BD\). Поэтому

\[MP \parallel AD.\]

Прямые \(MN\) и \(MP\) пересекаются в точке \(M\) и лежат в плоскости \((MNP)\), а прямые \(AC\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\) и лежат в плоскости \((ADC)\). Соответствующие пересекающиеся прямые параллельны, значит, по признаку параллельности плоскостей

\[(MNP) \parallel (ADC).\]

б) В треугольнике \(BCD\) точки \(N\) и \(P\) — середины сторон \(BC\) и \(BD\), поэтому

\[NP \parallel CD, \qquad NP=\frac12 CD.\]

Аналогично:

\[MN=\frac12 AC, \qquad MP=\frac12 AD.\]

Следовательно, треугольники \(MNP\) и \(ACD\) подобны с коэффициентом подобия \(\frac12\). Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MNP}}{S_{ACD}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14.\]

Тогда

\[S_{MNP}=48\cdot\frac14=12\text{ см}^2.\]

Ответ: а) \((MNP) \parallel (ADC)\); б) \(12\text{ см}^2\).