51. Записать разложение бинома: 1) (1 + √2)ⁿ; 2) (1 + √3)⁵; 3) (a − 1/(3a))⁷; 4) (b − 1/(2b))⁶.

Применяем формулу бинома Ньютона к каждому выражению.

1. В показателе степени в условии стоит \(n\), поэтому оставляем ответ в общем виде: \(\displaystyle (1+\sqrt2)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(\sqrt2)^k\). Например, это сумма членов с коэффициентами бинома и степенями \(\sqrt2\).
2. \(1+5\sqrt3+30+30\sqrt3+45+9\sqrt3=76+36\sqrt3\).
3. \(a^7-\frac73a^5+\frac73a^3-\frac{35}{27}a+\frac{35}{81a}-\frac{7}{243a^3}+\frac{7}{2187a^5}-\frac{1}{2187a^7}\).
4. \(b^6-3b^4+\frac{15}{4}b^2-\frac52+\frac{15}{16b^2}-\frac{3}{16b^4}+\frac{1}{64b^6}\).

В пункте 1 показатель степени на изображении читается как \(n\); если это так, разложение записано общей формулой.