53. С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму: 1) C₇⁰ + C₇¹ + C₇² + C₇³ + C₇⁴ + C₇⁵ + C₇⁶ + C₇⁷; 2) C₆⁶ + C₆⁵ + C₆⁴ + C₆³ + C₆² + C₆¹ + C₆⁰; 3) C₆¹ + C₆² + C₆³ + C₆⁴ + C₆⁵; 4) C₇⁶ + C₇⁵ + C₇⁴ + C₇³ + C₇² + C₇¹; 5) C₉⁰ + C₉¹ + C₉² + C₉³ + C₉⁴; 6) C₁₁⁵ + C₁₁⁴ + C₁₁³ + C₁₁² + C₁₁¹ + C₁₁⁰.

Сумма всех элементов строки Паскаля с номером \(n\) равна \(2^n\); коэффициенты симметричны: \(\binom nk=\binom n{n-k}\).

1. \(2^7=128\).
2. \(2^6=64\).
3. \(2^6-\binom60-\binom66=64-2=62\).
4. \(2^7-\binom70=128-1=127\).
5. Половина суммы строки с номером 9: \(2^{9-1}=256\).
6. \(\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+\binom{11}{3}+\binom{11}{4}+\binom{11}{5}=1+11+55+165+330+462=1024\).