54. Найти член разложения бинома: 1) (∛x + 1/√x)¹², содержащий x⁻¹; 2) (√x + 1/∛x)¹⁶, содержащий x³.

Общий член бинома \((u+v)^n\): \(T_{k+1}=\binom nk u^{n-k}v^k\).

1. Степень \(x\) в общем члене равна \(\frac{12-k}{3}-\frac{k}{2}=4-\frac{5k}{6}\). Приравниваем её к \(-1\): \(4-\frac{5k}{6}=-1\), откуда \(k=6\). Искомый член: \(\binom{12}{6}x^{-1}=924x^{-1}\).
2. Степень \(x\) в общем члене равна \(\frac{16-k}{2}-\frac{k}{3}=8-\frac{5k}{6}\). Приравниваем её к \(3\): \(8-\frac{5k}{6}=3\), откуда \(k=6\). Искомый член: \(\binom{16}{6}x^3=8008x^3\).