512. Является ли четырёхугольник, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Диагонали четырёхугольника в общем случае могут пересекаться, не делясь пополам.

1. а) Нет. Например, у равнобедренной трапеции диагонали равны, но обычно не перпендикулярны; а среди четырёхугольников с перпендикулярными равными диагоналями возможны также неправильные четырёхугольники. Этих условий недостаточно, чтобы гарантировать какой-либо определённый вид.
2. б) Нет. Если диагонали имеют общую середину, четырёхугольник является параллелограммом; если они к тому же перпендикулярны, это ромб. Ромб не обязательно является квадратом.
3. в) Да, это квадрат. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник — параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а с перпендикулярными диагоналями — ромбом. Следовательно, он одновременно прямоугольник и ромб, то есть квадрат.