518. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

а) В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна высоте, делённой на тангенс острого угла: \(9 : \tan 45^\circ = 9\) см. Поэтому основания отличаются на \(2 \cdot 9 = 18\) см. Второе основание равно \(18 + 18 = 36\) см.

Площадь: \(S = \frac{18 + 36}{2} \cdot 9 = 243\) см².

б) При перпендикулярных диагоналях площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей. В равнобедренной трапеции с основаниями 16 см и 30 см горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований: \(\frac{16 + 30}{2} = 23\) см. Из-за симметрии диагонали взаимно перпендикулярны, когда высота также равна 23 см. Тогда каждая диагональ имеет длину \(\sqrt{23^2 + 23^2} = 23\sqrt{2}\) см.

Площадь: \(S = \frac{1}{2} \cdot (23\sqrt{2})^2 = 529\) см².

Ответ: а) 243 см²; б) 529 см².