В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см и BC = 5 см и боковой стороной AB = 10 см через вершину B проведена прямая, делящая диагональ AC пополам и пересекающая основание AD в точке M. Найдите площадь треугольника BDM.

Разность оснований равна \(17-5=12\) см, поэтому проекция боковой стороны на основание равна \(12:2=6\) см.

Высота трапеции по теореме Пифагора: \(h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\) см.

Расположим трапецию так: \(A(0;0)\), \(D(17;0)\), \(B(6;8)\), \(C(11;8)\). Середина диагонали \(AC\) — точка \(P(5.5;4)\). Прямая через \(B\) и \(P\) пересекает прямую основания \(AD\) в точке \(M(5;0)\); следовательно, \(DM=17-5=12\) см.

Тогда \(S_{BDM}=\frac{1}{2}\cdot DM\cdot h=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48\) см².

Ответ: 48 см².