520. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD² + BC² = AB² + CD².

Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под прямым углом в точке \(O\). По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках:

\(AD^2 = AO^2 + DO^2\), \(BC^2 = BO^2 + CO^2\),

\(AB^2 = AO^2 + BO^2\), \(CD^2 = CO^2 + DO^2\).

Складывая первые два равенства, получаем \(AD^2 + BC^2 = AO^2 + DO^2 + BO^2 + CO^2\). Складывая последние два, получаем то же выражение: \(AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2\).

Следовательно, \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\). Что и требовалось доказать.