52. Представьте в виде дроби (n — натуральное число): а) aⁿ/(a²ⁿ − 1) − 1/(a²ⁿ − 1); б) bⁿ⁺¹/(bⁿ − 2)² − 2b/(bⁿ − 2)²; в) (2x³ⁿ + 6xⁿ)/(xⁿ − 1)² − (6x²ⁿ + 2)/(xⁿ − 1)²; г) (y²ⁿ − 4yⁿ)/(yⁿ⁺¹ − 5y) − (7yⁿ − 30)/(yⁿ⁺¹ − 5y).

а) Используем разность квадратов: \(a^{2n}-1=(a^n-1)(a^n+1)\). Тогда \(\dfrac{a^n-1}{(a^n-1)(a^n+1)}=\dfrac{1}{a^n+1}\).

б) \(\dfrac{b^{n+1}-2b}{(b^n-2)^2}=\dfrac{b(b^n-2)}{(b^n-2)^2}=\dfrac{b}{b^n-2}\).

в) Обозначим \(t=x^n\). Числитель равен \(2t^3-6t^2+6t-2=2(t-1)^3\). Поэтому \(\dfrac{2(t-1)^3}{(t-1)^2}=2(t-1)=2(x^n-1)\).

г) Обозначим \(t=y^n\). Тогда числитель равен \(t^2-11t+30=(t-5)(t-6)\), а знаменатель — \(y(t-5)\). Следовательно, дробь равна \(\dfrac{t-6}{y}=\dfrac{y^n-6}{y}\).

Ответ: а) 1/(aⁿ + 1); б) b/(bⁿ − 2); в) 2(xⁿ − 1); г) (yⁿ − 6)/y.