528. Точки M и N — середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.

Пусть \(A=0\), \(\vec{AB}=\mathbf b\), \(\vec{AD}=\mathbf d\). Тогда \(B=\mathbf b\), \(D=\mathbf d\), \(M=\frac12\mathbf d\), \(N=\mathbf b+\frac12\mathbf d\).

Точка пересечения прямой \(AN\) с диагональю \(BD\) имеет вид одновременно \(t(\mathbf b+\frac12\mathbf d)\) и \((1-s)\mathbf b+s\mathbf d\). Сравнение коэффициентов даёт \(s=\frac13\).

Аналогично прямая \(MC\) пересекает \(BD\) при \(s=\frac23\). Поэтому точки пересечения делят диагональ \(BD\) на части с долями \(\frac13,\frac13,\frac13\).

Что и требовалось доказать.