53. Доведіть, що для всіх дійсних x і y виконується нерівність: 1) x² + y² + 8 ≥ 4(x + y); 2) x² − 4x + y² + 2y + 5 ≥ 0; 3) x² + y² + 1 ≥ x + y + xy; 4) 2(x² − xy + y²) ≥ 4(y − 1).

1. Перенесемо все в ліву частину та виділимо квадрати:

   \(x^2+y^2+8-4x-4y=(x-2)^2+(y-2)^2\ge 0\).

2. Виділимо квадрати:

   \(x^2-4x+y^2+2y+5=(x-2)^2+(y+1)^2\ge 0\).

3. Різницю лівої та правої частин подамо як суму квадратів:

   \(x^2+y^2+1-x-y-xy=\frac12\bigl((x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\bigr)\ge 0\).

4. Перенесемо праву частину вліво й виділимо квадрати:

   \(2(x^2-xy+y^2)-4(y-1)=2\left(x-\frac y2\right)^2+\frac32\left(y-\frac43\right)^2+\frac43\ge 0\).

Отже, усі чотири нерівності правильні для будь-яких дійсних \(x\) і \(y\).