56. Доведіть, що a³ − b³ ≥ ab(b − a), якщо a ≥ b.

Перенесемо праву частину вліво та розкладемо різницю на множники:

\(a^3-b^3-ab(b-a)=a^3-b^3+ab(a-b)\).

\(=(a-b)(a^2+ab+b^2)+ab(a-b)=(a-b)(a+b)^2\).

За умовою \(a-b\ge 0\), а \((a+b)^2\ge 0\). Тому \((a-b)(a+b)^2\ge 0\).

Отже, \(a^3-b^3\ge ab(b-a)\).