54. Доведіть, що для будь-якого значення змінної: 1) −2xy ≤ x² + y²; 2) x² + y² ≥ 2(x + y − 1); 3) x² + y² − 2x − 4y + 5 ≥ 0; 4) 5x² − 12xy + 10y² ≥ 0.

1. Перенесемо ліву частину нерівності вправо:

   \(x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\ge 0\), тому \(-2xy\le x^2+y^2\).

2. Різниця лівої та правої частин дорівнює:

   \(x^2+y^2-2x-2y+2=(x-1)^2+(y-1)^2\ge 0\).

3. Згрупуємо доданки та виділимо квадрати:

   \(x^2+y^2-2x-4y+5=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0\).

4. Виділимо квадрат за змінною \(x\):

   \(5x^2-12xy+10y^2=5\left(x-\frac65y\right)^2+\frac{14}{5}y^2\ge 0\).

Отже, усі чотири нерівності правильні для будь-яких значень змінних.