53. С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму: 1) \(C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7\); 2) \(C_6^6+C_6^5+C_6^4+C_6^3+C_6^2+C_6^1+C_6^0\); 3) \(C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5\); 4) \(C_7^6+C_7^5+C_7^4+C_7^3+C_7^2+C_7^1\); 5) \(C_9^0+C_9^1+C_9^2+C_9^3+C_9^4\); 6) \(C_{11}^5+C_{11}^4+C_{11}^3+C_{11}^2+C_{11}^1+C_{11}^0\).

Question

Вопрос:

Фото задания

53. С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму: 1) \(C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7\); 2) \(C_6^6+C_6^5+C_6^4+C_6^3+C_6^2+C_6^1+C_6^0\); 3) \(C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5\); 4) \(C_7^6+C_7^5+C_7^4+C_7^3+C_7^2+C_7^1\); 5) \(C_9^0+C_9^1+C_9^2+C_9^3+C_9^4\); 6) \(C_{11}^5+C_{11}^4+C_{11}^3+C_{11}^2+C_{11}^1+C_{11}^0\).

Accepted Answer

Сумма всех элементов строки с номером 7 равна \(2^7\), поэтому сумма равна \(128\).
Сумма всех элементов строки с номером 6 равна \(2^6\), поэтому сумма равна \(64\).
В полной строке сумма равна \(2^6=64\). По симметрии \(C_6^k=C_6^{6-k}\), а средний элемент \(C_6^3=20\). Поэтому сумма первых пяти элементов без крайних равна \((64-2)/2=31\)? Здесь перечислены элементы с индексами от 1 до 5: это все элементы, кроме двух крайних, значит сумма \(64-1-1=62\).
Исключены крайние элементы \(C_7^0=C_7^7=1\), поэтому сумма равна \(2^7-2=126\).
По симметрии строки с номером 9, \(C_9^k=C_9^{9-k}\). Сумма элементов с индексами от 0 до 4 составляет ровно половину полной суммы: \(2^9/2=256\).
Из полной суммы строки с номером 11, равной \(2^{11}=2048\), вычтем элементы с индексами 6–11. Их сумма равна \(C_{11}^5+C_{11}^4+\cdots+C_{11}^0\) по симметрии, то есть это та же искомая сумма. Также сумма двух половин строки равна 2048, следовательно искомая сумма равна \(1024\).

Ответ: 1) 128; 2) 64; 3) 62; 4) 126; 5) 256; 6) 1024.