54. Найти член разложения бинома: 1) \(\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}\), содержащий \(x^{-1}\); 2) \(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}\), содержащий \(x^3\).

1. Общий член при выборе \(k\) множителей \(x^{-1/2}\): \(T_{k+1}=C_{12}^k(x^{1/3})^{12-k}(x^{-1/2})^k=C_{12}^k x^{4-5k/6}\). Требуемая степень: \(4-5k/6=-1\), откуда \(k=6\). Значит, член равен \(C_{12}^6x^{-1}=924x^{-1}\).
2. Общий член при выборе \(k\) множителей \(x^{-1/3}\): \(T_{k+1}=C_{16}^k(x^{1/2})^{16-k}(x^{-1/3})^k=C_{16}^k x^{8-5k/6}\). Для степени 3: \(8-5k/6=3\), откуда \(k=6\). Тогда искомый член равен \(C_{16}^6x^3=8008x^3\).

Ответ: 1) \(924x^{-1}\); 2) \(8008x^3\).