56. Упростить: 1) $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$; 2) $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}$; 3) $\left(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{n!}\right)n!$; 4) $\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)n!$; 5) $\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!}\right)(n+1)!$; 6) $\left(\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{n!}\right)(n+1)!$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 56. Упростить: 1) $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$; 2) $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

$\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)$.
$\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)$.
$\left(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{n!}\right)n!=\frac{1}{n+1}+1=\frac{n+2}{n+1}$.
$\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)n!=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.
$\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!}\right)(n+1)!=n+1-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)-1}{n+2}=\frac{n^2+3n+1}{n+2}$.
$\left(\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{n!}\right)(n+1)!=\frac{1}{n+2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)+1}{n+2}=\frac{n^2+3n+3}{n+2}$.

Факториалы определены для натуральных значений аргументов; в частности, для пунктов 2–6 требуется $n\ge1$.

Ответ: