533. На диагонали AC квадрата ABCD взята точка M так, что AM = AB. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC.

Пусть сторона квадрата равна a. Выберем координаты: A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a). Диагональ AC задаётся равенством y = x.

Так как AM = AB = a, а диагональ квадрата образует с его сторонами угол 45°, координаты точки M равны \(\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\).

Прямая через M, перпендикулярная AC, имеет наклон −1. Её уравнение: \(x+y=a\sqrt{2}\). На стороне BC координата x=a, поэтому для точки пересечения H получаем \(H=(a, a(\sqrt{2}-1))\).

Отсюда \(BH=a(\sqrt{2}-1)\). Поскольку HM лежит на прямой с наклоном −1, \(HM=\sqrt{2}\left(a-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=a(\sqrt{2}-1)\). Наконец, \(MC=AC-AM=a\sqrt{2}-a=a(\sqrt{2}-1)\).

Ответ: \(BH=HM=MC\).