536*. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Обозначим общую вершину через A, а две стороны треугольника — \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\) и \(\overrightarrow{AC}=\mathbf{v}\). Построенные квадраты расположены вне треугольника. Пусть их соответствующие стороны из вершины A задаются поворотом векторов на 90° в противоположных направлениях: концы этих сторон — точки P и Q.

Поворот на 90° сохраняет длину и меняет знак при противоположных направлениях; обозначим поворот против часовой стрелки через J. Тогда \(\overrightarrow{AP}=J\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{AQ}=-J\mathbf{v}\), поэтому \(\overrightarrow{PQ}=-J(\mathbf{u}+\mathbf{v})\).

Пусть M — середина BC. Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{2}\). Поскольку поворот сохраняет длину, получаем \(PQ=|\mathbf{u}+\mathbf{v}|=2AM\).

Ответ: отрезок между указанными концами вдвое больше медианы из вершины A.