537. Точки А, В, С, Д, расположенные на окружности, являются вершинами четырёхугольника ABCD. Градусные величины углов А, В и D относятся соответственно как 5:2:6 (см. рис. 307 на с. 255). Найдите угол С четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Обозначение углов: Пусть градусные величины углов A, B и D равны 5x, 2x и 6x соответственно.
2. Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
• Угол A + Угол C = 180°
• Угол B + Угол D = 180°
3. Находим Угол D:
• 2x + 6x = 180°
• 8x = 180°
• x = 180° / 8 = 22.5°
• Угол D = 6x = 6 * 22.5° = 135°
4. Находим Угол B:
• Угол B = 2x = 2 * 22.5° = 45°
5. Находим Угол C:
• Угол C = 180° - Угол A = 180° - 5x = 180° - 5 * 22.5° = 180° - 112.5° = 67.5°
6. Проверка: Угол B + Угол D = 45° + 135° = 180°.

Ответ: 67.5°