545. Меньшая сторона прямоугольника равна 12, угол между диагоналями равен 60°. Найдите радиус описанной окружности (см. рис. 312).

Решение:

1. Свойства прямоугольника:
• Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали пересекаются в центре описанной окружности.
• Радиус описанной окружности равен половине диагонали.
2. Обозначения:
• Пусть ABCD - прямоугольник.
• AB = 12 (меньшая сторона).
• AC и BD - диагонали.
• O - точка пересечения диагоналей.
• Угол между диагоналями, например, ∠AOB = 60°.
3. Рассмотрим треугольник AOB:
• OA = OB (половины диагоналей).
• Следовательно, треугольник AOB - равнобедренный.
• Углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA = (180° - 60°) / 2 = 60°.
• Таким образом, треугольник AOB - равносторонний.
• Следовательно, OA = OB = AB = 12.
4. Найдем диагональ:
• Диагональ AC = OA + OC. Так как OA = OC, то AC = 2 * OA = 2 * 12 = 24.
5. Найдем радиус описанной окружности:
• Радиус описанной окружности R = AC / 2 = 24 / 2 = 12.

Ответ: 12