541. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 309). Найдите радиус окружности.

Решение:

1. Свойство описанной трапеции: Сумма противоположных сторон равна. Для прямоугольной трапеции ABCD (AB - высота, BC - меньшее основание, CD - боковая сторона, AD - большее основание), описанной около окружности, выполняется равенство: AB + CD = BC + AD.
2. Дано:
• Периметр P = 42
• Большая боковая сторона AD = 12
• Трапеция прямоугольная (предположим, что AB - высота).
3. Периметр трапеции: P = AB + BC + CD + AD = 42.
4. Используем свойство описанной трапеции:
• AB + CD = BC + AD
• Так как трапеция прямоугольная, то высота AB равна меньшему основанию BC.
• AB = BC
• Следовательно, 2 * AB = BC + AD.
5. Подставляем в формулу периметра:
• P = (BC + AD) + (AB + CD) = (BC + AD) + (BC + AD) = 2 * (BC + AD) = 42
• 2 * (BC + 12) = 42
• BC + 12 = 21
• BC = 9
6. Находим высоту (радиус):
• Так как AB = BC, то AB = 9.
• Радиус вписанной окружности в прямоугольную трапецию равен половине высоты (или половине меньшего основания).
• r = AB / 2 = 9 / 2 = 4.5

Ответ: 4.5