56. Плоскости α и β параллельны. A — точка плоскости α. Докажите, что всякая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.

Пусть прямая a проходит через A и параллельна плоскости β. Поскольку α ∥ β, прямая a не пересекает β.

Предположим, что a не лежит в α. Тогда она пересекает α только в точке A. Возьмём плоскость, содержащую a и пересекающую β по прямой b, параллельной a: такую прямую можно провести, поскольку a ∥ β. Эта плоскость пересекает α по прямой, проходящей через A и параллельной b. Поскольку A принадлежит α, а b ∥ a, такая прямая должна совпасть с a, откуда a лежит в α — противоречие предположению.

Итак, прямая a лежит в плоскости α.