57. Докажите, что прямая, параллельная одной из двух параллельных плоскостей, лежит в другой плоскости или параллельна ей.

Пусть α ∥ β и прямая a параллельна плоскости α. Если a лежит в β, утверждение выполнено.

Если a не лежит в β, то она либо пересекает β, либо не имеет с ней общих точек. В первом случае точка пересечения принадлежит одновременно α и β, поскольку a ∥ α и всякая точка a лежит вне α; это невозможно, так как параллельные плоскости не пересекаются. Значит, a не пересекает β. По определению это означает, что a параллельна β.

Ответ: a лежит в β или параллельна β.