56. В таблице 39 приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований. Рост (см): [160;165) — 5 участников; [165;170) — 12; [170;175) — 19; [175;180) — 25; [180;185) — 10; [185;190) — 7; [190;195] — 2. Определите процент участников, у которых рост попадает в промежуток: а) [X̄ − S, X̄ + S]; б) [X̄ − 2S, X̄ + 2S]; в) [X̄ − 3S, X̄ + 3S], где X̄ — среднее арифметическое, а S — стандартное отклонение.

Для сгруппированных данных используем середины интервалов: 162,5; 167,5; 172,5; 177,5; 182,5; 187,5; 192,5 см. Всего участников: 5 + 12 + 19 + 25 + 10 + 7 + 2 = 80.

Средний рост по серединам интервалов равен (162,5·5 + 167,5·12 + 172,5·19 + 177,5·25 + 182,5·10 + 187,5·7 + 192,5·2) : 80 = 175,75 см.

Дисперсия по этим данным равна 49,4375 см², поэтому S ≈ 7,03 см.

а) Интервал [X̄ − S, X̄ + S] приблизительно равен [168,72; 182,78]. По серединам интервалов в него попадают группы с серединами 172,5; 177,5 и 182,5 см: 19 + 25 + 10 = 54 человека. Доля: 54 : 80 · 100% = 67,5%.

б) Интервал [X̄ − 2S, X̄ + 2S] приблизительно равен [161,69; 189,81]. В него попадают все группы, кроме группы с серединой 192,5 см: 78 человек, или 97,5%.

в) Интервал [X̄ − 3S, X̄ + 3S] приблизительно равен [154,66; 196,84] и включает все группы: 100%.

Расчёт выполнен приближённо по серединам интервалов, поскольку точные значения роста участников не приведены.

Ответ: а) 67,5%; б) 97,5%; в) 100%.