57. В начале футбольного матча играть за команду «Вымпел» вышли 11 игроков. Самому старшему из них 28 лет, ещё пятерым — по 25 лет, а остальным — по 20 лет. а) Найдите средний возраст игроков, дисперсию и стандартное отклонение. б) По ходу матча произошла замена: вместо самого старшего игрока на поле вышел молодой игрок, которому всего 17 лет. Как изменились все числовые характеристики, найденные в предыдущем пункте? в) Что произойдёт со средним, дисперсией и стандартным отклонением возраста, если команда «Вымпел» выйдет на игру ровно через год в том же самом составе?

а) В составе 11 игроков: один 28-летний, пять 25-летних и пять 20-летних.

Средний возраст: (28 + 5·25 + 5·20) : 11 = 228 : 11 ≈ 20,73 года.

Дисперсия (с делением на число игроков) равна [28² + 5·25² + 5·20²] : 11 − (228 : 11)² = 269 : 121 ≈ 2,22 года².

Стандартное отклонение: √(269 : 121) ≈ 1,49 года.

б) Замена меняет возраст одного игрока с 28 на 17 лет. Сумма возрастов уменьшается на 11 лет, поэтому новое среднее равно (228 − 11) : 11 = 217 : 11 ≈ 19,73 года.

Новая дисперсия равна [17² + 5·25² + 5·20²] : 11 − (217 : 11)² = 1080 : 121 ≈ 8,93 года². Новое стандартное отклонение — √(1080 : 121) ≈ 2,99 года. Следовательно, средний возраст уменьшился на 1 год, а дисперсия и стандартное отклонение увеличились.

в) Через год возраст каждого игрока увеличится на 1 год. Средний возраст также увеличится на 1 год. Отклонения каждого возраста от среднего не изменятся, поэтому дисперсия и стандартное отклонение останутся прежними.

Ответ: а) средний возраст ≈ 20,73 года, дисперсия ≈ 2,22 года², стандартное отклонение ≈ 1,49 года; б) средний возраст ≈ 19,73 года, дисперсия ≈ 8,93 года², стандартное отклонение ≈ 2,99 года; в) средний возраст увеличится на год, дисперсия и стандартное отклонение не изменятся.