568. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Обозначим середины сторон исходного четырёхугольника A, B, C, D последовательно через E, F, G, H. По теореме о средней линии треугольника:

1. а) Прямоугольник. EF и GH параллельны одной диагонали и равны половине её длины; FG и HE параллельны другой диагонали и равны половине её длины. У прямоугольника диагонали равны, поэтому EF = FG = GH = HE. Четырёхугольник EFGH — ромб.

2. б) Равнобедренная трапеция. Пусть её основания равны a и b, а диагонали — d₁ и d₂. Стороны четырёхугольника EFGH, соединяющие середины соседних сторон, попеременно равны половинам диагоналей исходной трапеции: d₁/2 и d₂/2. Диагонали равнобедренной трапеции равны, значит, все четыре стороны EFGH равны. Следовательно, EFGH — ромб.