573. Решите неравенство: а) x² + x − 42 ≤ 0; б) (x + 11)(x + 4)(x − 1) > 0.

а) Разложим квадратный трёхчлен на множители: x² + x − 42 = (x + 7)(x − 6). Произведение не положительно между корнями, включая корни: −7 ≤ x ≤ 6.

б) Нули множителей: −11, −4 и 1. Знак произведения меняется при переходе через каждый корень; при больших x произведение положительно. Поэтому оно положительно на интервалах (−11, −4) и (1, +∞) для проверки: между −4 и 1 оно отрицательно, а левее −11 — отрицательно. Значит, остаются интервалы (−4, 1) и (−11, −4)? Проверим знаки непосредственно: при x = 0 произведение 11 · 4 · (−1) < 0; при x = −5 получаем 6 · (−1) · (−6) > 0; при x = −12 произведение отрицательно; при x = 2 произведение положительно. Следовательно, решение — (−11, −4) ∪ (1, +∞).

Ответ: а) [−7, 6]; б) (−11, −4) ∪ (1, +∞).