581. Доказать, что $\arccos(\cos\alpha)=\alpha$ при $0\leq\alpha\leq\pi$. Вычислить: 1) $5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})$; 2) $3\arccos(\cos 2)$; 3) $\arccos(\cos\frac{8\pi}{7})$; 4) $\arccos(\cos 4)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 581. Доказать, что $\arccos(\cos\alpha)=\alpha$ при $0\leq\alpha\leq\pi$. Вычислить: 1) $5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})$;…$ Фото задания

581. Доказать, что $\arccos(\cos\alpha)=\alpha$ при $0\leq\alpha\leq\pi$. Вычислить: 1) $5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})$; 2) $3\arccos(\cos 2)$; 3) $\arccos(\cos\frac{8\pi}{7})$; 4) $\arccos(\cos 4)$.

Accepted Answer

По определению функция $\arccos t$ принимает значения только из отрезка $[0,\pi]$. Если $\alpha\in[0,\pi]$, то угол $\alpha$ уже лежит в области значений арккосинуса, а $\cos\alpha$ — его косинус. Поэтому $\arccos(\cos\alpha)=\alpha$.

Так как $\frac{\pi}{10}\in[0,\pi]$, получаем $5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})=5\cdot\frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{2}$.
Так как $2\in[0,\pi]$, $3\arccos(\cos2)=3\cdot2=6$.
Угол $\frac{8\pi}{7}$ больше $\pi$. Используем периодичность косинуса и чётность: $\cos\frac{8\pi}{7}=\cos(2\pi-\frac{8\pi}{7})=\cos\frac{6\pi}{7}$. Поскольку $\frac{6\pi}{7}\in[0,\pi]$, результат равен $\frac{6\pi}{7}$.
$\cos4=\cos(2\pi-4)$, причём $2\pi-4\in[0,\pi]$. Следовательно, $\arccos(\cos4)=2\pi-4$.

Ответ: 1) $\frac{\pi}{2}$; 2) $6$; 3) $\frac{6\pi}{7}$; 4) $2\pi-4$.

581. Доказать, что \(\arccos(\cos\alpha)=\alpha\) при \(0\leq\alpha\leq\pi\). Вычислить: 1) \(5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})\); 2) \(3\arccos(\cos 2)\); 3) \(\arccos(\cos\frac{8\pi}{7})\); 4) \(\arccos(\cos 4)\).

Ответ: