582. Вычислить: 1) \(\sin\left(\arccos\frac{1}{3}+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)\); 2) \(\cos\left(\arccos\frac{4}{5}-\arccos\frac{3}{5}\right)\).

1. Пусть \(A=\arccos\frac13\), \(B=\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\). Тогда \(\cos A=\frac13\), \(\sin A=\frac{2\sqrt2}{3}\), а \(\cos B=\frac{2\sqrt2}{3}\), \(\sin B=\frac13\). Поэтому \(\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1\).
2. Пусть \(C=\arccos\frac45\), \(D=\arccos\frac35\). Тогда \(\sin C=\frac35\), \(\sin D=\frac45\). Следовательно, \(\cos(C-D)=\cos C\cos D+\sin C\sin D=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25}\).

Ответ: 1) \(1\); 2) \(\frac{24}{25}\).