584. Доказать, что если \(-1\leq a\leq1\), то \(2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a\).

Пусть \(\theta=\arccos a\). Тогда \(\theta\in[0,\pi]\) и \(\cos\theta=a\). По формуле половинного угла \(\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}=\frac{1+a}{2}\). Поскольку \(\theta/2\in[0,\pi/2]\), косинус неотрицателен, поэтому \(\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+a}{2}}\). Отсюда \(\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\frac{\theta}{2}\), и умножение на 2 даёт требуемое равенство.