588. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: a) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

a) 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=BC, AC - основание, равное 12 см, и высота BD равна 8 см. 2. Высота BD является также медианой, поэтому AD = DC = AC/2 = 12/2 = 6 см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора, (AB^2 = AD^2 + BD^2), следовательно, (AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10) см. 4. Площадь треугольника ABC равна (S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 12 * 8 = 48) см². Ответ: Боковая сторона равна 10 см, площадь равна 48 см². б) 1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB=BC, AC - основание, равное 18 см, и угол \(\angle B = 120^\circ\). 2. Высота BD, проведенная к основанию AC, является также биссектрисой угла B, поэтому \(\angle ABD = \angle CBD = 120^\circ / 2 = 60^\circ\). 3. AD = DC = AC/2 = 18/2 = 9 см. 4. В прямоугольном треугольнике ABD, \(\tan(\angle ABD) = AD / BD\), следовательно, \(BD = AD / \tan(\angle ABD) = 9 / \tan(60^\circ) = 9 / \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) см. 5. По теореме Пифагора, (AB^2 = AD^2 + BD^2), следовательно, (AB = \sqrt{9^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) см. 6. Площадь треугольника ABC равна (S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 18 * 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}\) см². Ответ: Боковая сторона равна (6\sqrt{3}) см, площадь равна (27\sqrt{3}) см². в) 1. Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC и \(\angle B = 90^\circ\). Высота, проведенная к гипотенузе AC, равна 7 см. 2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, AC = 2 * 7 = 14 см. 3. По теореме Пифагора, (AB^2 + BC^2 = AC^2). Так как AB = BC, то (2AB^2 = 14^2 = 196), следовательно, (AB^2 = 98), и (AB = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\) см. 4. Площадь треугольника ABC равна (S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * (7\sqrt{2}) * (7\sqrt{2}) = (1/2) * 49 * 2 = 49) см². Ответ: Боковая сторона равна (7\sqrt{2}) см, площадь равна 49 см².