59. Упростите выражение: а) 1 − cos² α; б) sin² α − 1; в) cos² α + (1 − sin² α); г) sin² α + 2 cos² α − 1; д) (1 − sin α)(1 + sin α); е) (cos α − 1)(1 + cos α).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

1. а) \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).
2. б) \(\sin^2\alpha-1=-\cos^2\alpha\).
3. в) \(\cos^2\alpha+(1-\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=2\cos^2\alpha\).
4. г) \(\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha-1=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+\cos^2\alpha-1=\cos^2\alpha\).
5. д) \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).
6. е) \((\cos\alpha-1)(1+\cos\alpha)=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha\).

Ответ: а) \(\sin^2\alpha\); б) \(-\cos^2\alpha\); в) \(2\cos^2\alpha\); г) \(\cos^2\alpha\); д) \(\cos^2\alpha\); е) \(-\sin^2\alpha\).