61. Упростите выражение: а) sin α cos α tg α; б) sin α cos α ctg α − 1; в) sin² α − tg α ctg α; г) (1 − sin² α)/cos² α; д) cos² α/(cos α − 1); е) (1 − cos² α)/(1 − sin α).

Question

Вопрос:

Фото задания: 61. Упростите выражение: а) sin α cos α tg α; б) sin α cos α ctg α − 1; в) sin² α − tg α ctg α; г) (1 − sin² α)/cos² α; д)…

61. Упростите выражение: а) sin α cos α tg α; б) sin α cos α ctg α − 1; в) sin² α − tg α ctg α; г) (1 − sin² α)/cos² α; д) cos² α/(cos α − 1); е) (1 − cos² α)/(1 − sin α).

Accepted Answer

Применяем \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) и \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Учитываем область допустимых значений исходных выражений.

а) \(\sin\alpha\cos\alpha g\alpha=\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sin^2\alpha\).
б) \(\sin\alpha\cos\alpha\ctg\alpha-1=\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-1=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha\).
в) \(\sin^2\alpha- g\alpha\ctg\alpha=\sin^2\alpha-1=-\cos^2\alpha\).
г) \(\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1\).
д) \(\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha-1}=\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha-1}=-(1+\cos\alpha)\).
е) \(\frac{1-\cos^2\alpha}{1-\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin\alpha}\). Это выражение нельзя сократить до более простого тождественного выражения без изменения значения: числитель не содержит множителя \(1-\sin\alpha\).

Ответ: а) \(\sin^2\alpha\); б) \(-\sin^2\alpha\); в) \(-\cos^2\alpha\); г) 1; д) \(-(1+\cos\alpha)\); е) \(\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin\alpha}\).