591. Решить уравнение: 1) sin 3x = 1; 2) sin 2x = −1; 3) √2 sin(x/3) = −1; 4) 2 sin(x/2) = √3; 5) sin(x + 3π/4) = 0; 6) sin(2x + π/2) = 0.

Question

Вопрос:

Фото задания: 591. Решить уравнение: 1) sin 3x = 1; 2) sin 2x = −1; 3) √2 sin(x/3) = −1; 4) 2 sin(x/2) = √3; 5) sin(x + 3π/4) = 0; 6)…

591. Решить уравнение: 1) sin 3x = 1; 2) sin 2x = −1; 3) √2 sin(x/3) = −1; 4) 2 sin(x/2) = √3; 5) sin(x + 3π/4) = 0; 6) sin(2x + π/2) = 0.

Accepted Answer

\(\sin 3x=1\Rightarrow 3x=\frac\pi2+2\pi n\).
\(x=\frac\pi6+\frac{2\pi n}{3}\), \(n\in\mathbb Z\).
\(\sin 2x=-1\Rightarrow 2x=-\frac\pi2+2\pi n\).
\(x=-\frac\pi4+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).
Делим на \(\sqrt2\): \(\sin\frac{x}{3}=-\frac1{\sqrt2}\).
\(\frac{x}{3}=-\frac\pi4+2\pi n\) или \(\frac{x}{3}=-\frac{3\pi}4+2\pi n\).
\(x=-\frac{3\pi}4+6\pi n\) или \(x=-\frac{9\pi}4+6\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).
Делим на 2: \(\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\).
\(\frac{x}{2}=\frac\pi3+2\pi n\) или \(\frac{x}{2}=\frac{2\pi}3+2\pi n\).
\(x=\frac{2\pi}3+4\pi n\) или \(x=\frac{4\pi}3+4\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).
\(\sin\left(x+\frac{3\pi}4\right)=0\Rightarrow x+\frac{3\pi}4=\pi n\).
\(x=\pi n-\frac{3\pi}4\), \(n\in\mathbb Z\).
\(\sin\left(2x+\frac\pi2\right)=0\Rightarrow 2x+\frac\pi2=\pi n\).
\(x=\frac{\pi n}{2}-\frac\pi4\), \(n\in\mathbb Z\).

Ответ: 1) \(x=\frac\pi6+\frac{2\pi n}{3}\); 2) \(x=-\frac\pi4+\pi n\); 3) \(x=-\frac{3\pi}4+6\pi n\) или \(x=-\frac{9\pi}4+6\pi n\); 4) \(x=\frac{2\pi}3+4\pi n\) или \(x=\frac{4\pi}3+4\pi n\); 5) \(x=\pi n-\frac{3\pi}4\); 6) \(x=\frac{\pi n}{2}-\frac\pi4\), где \(n\in\mathbb Z\).