6. (1 балл) Решите неравенство: 4^(5x+1) ≥ (1/2)^x

Решение:

1. Приведем обе части неравенства к одному основанию. Так как \( 4 = 2^2 \) и \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), то: \( (2^2)^{5x+1} \ge \ (2^{-1})^x \)
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m n} \): \( 2^{2(5x+1)} \ge \ 2^{-x} \) \( 2^{10x+2} \ge \ 2^{-x} \)
3. Поскольку основание \( 2 > 1 \), при переходе от показателей степеней знак неравенства сохраняется: \( 10x+2 \ge \ -x \)
4. Решим полученное линейное неравенство: \( 10x+x \ge \ -2 \) \( 11x \ge \ -2 \) \( x \ge \ -\frac{2}{11} \)

Ответ: x ≥ -2/11.