6. (2 балла) Прямые АС, АВ и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=5 см, ВС=13 см, АД=9 см.

Решение:

Так как прямые АС, АВ и АД попарно перпендикулярны, то можно построить систему координат с началом в точке А. Пусть А=(0,0,0). Тогда:

• АВ лежит вдоль оси X: B=(5,0,0)
• АС лежит вдоль оси Y: C=(0,y,0)
• АД лежит вдоль оси Z: D=(0,0,9)

По условию ВС=13 см. Найдем длину ВС, используя координаты точек B и C:

$$BC^2 = (5-0)^2 + (0-y)^2 + (0-0)^2 = 25 + y^2$$

$$13^2 = 25 + y^2$$

$$169 = 25 + y^2$$

$$y^2 = 169 - 25 = 144$$

$$y = 12$$

Значит, C=(0,12,0).

Теперь найдем длину отрезка СД, используя координаты точек C=(0,12,0) и D=(0,0,9):

$$CD^2 = (0-0)^2 + (12-0)^2 + (0-9)^2$$

$$CD^2 = 0 + 144 + 81 = 225$$

$$CD = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Ответ: 15 см.