7.(2 балла) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины общего перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2:3 и длины наклонных равны 23 см и 33 см.

Дано:

• Две наклонные из одной точки к плоскости.
• Отношение проекций: 2:3.
• Длины наклонных: 23 см и 33 см.

Найти: Длину общего перпендикуляра.

Решение:

Пусть:

• h - длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.
• a и b - длины наклонных (a=23 см, b=33 см).
• a₁ и b₁ - длины проекций наклонных на плоскость.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром, наклонной и ее проекцией:

$$ a^2 = h^2 + a_1^2 $$

$$ b^2 = h^2 + b_1^2 $$

Из этих уравнений выразим квадраты проекций:

$$ a_1^2 = a^2 - h^2 $$

$$ b_1^2 = b^2 - h^2 $$

По условию, отношение проекций равно 2:3, то есть:

$$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{2}{3} $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ \frac{a_1^2}{b_1^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$

Подставим выражения для $$a_1^2$$ и $$b_1^2$$:

$$ \frac{a^2 - h^2}{b^2 - h^2} = \frac{4}{9} $$

Подставим значения a и b:

$$ \frac{23^2 - h^2}{33^2 - h^2} = \frac{4}{9} $$

$$ \frac{529 - h^2}{1089 - h^2} = \frac{4}{9} $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 9(529 - h^2) = 4(1089 - h^2) $$

$$ 4761 - 9h^2 = 4356 - 4h^2 $$

$$ 4761 - 4356 = 9h^2 - 4h^2 $$

$$ 405 = 5h^2 $$

$$ h^2 = \frac{405}{5} $$

$$ h^2 = 81 $$

$$ h = \sqrt{81} = 9 \text{ см} $$

Ответ: 9 см