6. ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD = 10 см, BC = 6 см. Диагональ BD равна 10 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( h \) — высота трапеции, \( O \) — точка пересечения диагоналей. В равнобедренной трапеции диагонали равны, \( AC = BD = 10 \) см.

Рассмотрим треугольник \( BCD \). По теореме косинусов:

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 · BC · CD · \cos(\angle BCD) \]

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Пусть \( \angle ADC = \angle BCD = \alpha \).

Пусть \( AB = CD \). Проведем высоту \( BK \) к основанию \( AD \). Тогда \( AK = \frac{AD-BC}{2} = \frac{10-6}{2} = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( BKD \) (если провести высоту \( CK \) к \( AD \), то \( DK = AK+KD = 2 + 6 = 8 \)), \( BD^2 = BK^2 + DK^2 \) - это неверно, \( DK \) — это проекция, а \( BD \) — диагональ.

Проведем высоту \( BK \) из \( B \) на \( AD \) и \( CL \) из \( C \) на \( AD \). Тогда \( KL = BC = 6 \) см. \( AK = LD = \frac{10-6}{2} = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( BLC \), \( BL = h \), \( LC = 6 \).

Рассмотрим треугольник \( BCD \). По теореме косинусов:

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 · BC · CD · \cos(\angle BCD) \]

В прямоугольном треугольнике \( CLD \): \( CD^2 = CL^2 + LD^2 = h^2 + 2^2 = h^2 + 4 \).

В прямоугольном треугольнике \( BKA \), \( AB^2 = BK^2 + AK^2 = h^2 + 2^2 = h^2 + 4 \). Так как \( AB = CD \), это верно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BLD \). \( BD^2 = BL^2 + LD^2 \) - это неверно. \( LD \) не является катетом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDK \) (где \( BK \) — высота, \( K \) — точка на \( AD \)). \( BD^2 = BK^2 + DK^2 \). \( DK = AD - AK = 10 - 2 = 8 \). \( 10^2 = h^2 + 8^2 \) \( 100 = h^2 + 64 \) \( h^2 = 36 \) \( h = 6 \) см.

Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} · h \)

\[ S = \frac{10+6}{2} · 6 = \frac{16}{2} · 6 = 8 · 6 = 48 \] см².

Ответ: 48 см²