8. Найдите значение выражения \(\frac{9}{2-\sqrt{13}} - \frac{12}{5+\sqrt{13}}\). В ответ запишите число, обратное полученному.

Решение:

Для начала найдем значение выражения:

\[ \frac{9}{2-\sqrt{13}} - \frac{12}{5+\sqrt{13}} \]

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение:

\[ \frac{9(2+\sqrt{13})}{(2-\sqrt{13})(2+\sqrt{13})} - \frac{12(5-\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})(5-\sqrt{13})} \]

\[ \frac{9(2+\sqrt{13})}{4-13} - \frac{12(5-\sqrt{13})}{25-13} \]

\[ \frac{9(2+\sqrt{13})}{-9} - \frac{12(5-\sqrt{13})}{12} \]

\[ -(2+\sqrt{13}) - (5-\sqrt{13}) \]

\[ -2 - \sqrt{13} - 5 + \sqrt{13} \]

\[ -7 \]

Теперь найдем число, обратное полученному:

\[ \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7} \]

Ответ: -1/7