7. Решите уравнение 1 + \(\frac{5}{m^2-m-6} = -\frac{1}{m+2}\).

Решение:

Приведем уравнение к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель \( m^2 - m - 6 \) на множители. Корни уравнения \( m^2 - m - 6 = 0 \) равны \( m = 3 \) и \( m = -2 \). Значит, \( m^2 - m - 6 = (m-3)(m+2) \).

Запишем уравнение с разложенным знаменателем:

\[ 1 + \frac{5}{(m-3)(m+2)} = -\frac{1}{m+2} \]

ОДЗ: \( m
e 3 \) и \( m
e -2 \).

Умножим все члены уравнения на \( (m-3)(m+2) \):

\[ (m-3)(m+2) + 5 = -1(m-3) \]

\[ m^2 + 2m - 3m - 6 + 5 = -m + 3 \]

\[ m^2 - m - 1 = -m + 3 \]

\[ m^2 - 1 = 3 \]

\[ m^2 = 4 \]

\[ m = \pm 2 \]

Однако, \( m
e -2 \) по ОДЗ. Следовательно, единственный корень уравнения \( m=2 \).

Ответ: 2