6. Часть С. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке О. ∠AOC = 105°. Найдите меньший острый угол треугольника ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \). Сумма острых углов треугольника равна \( 90^{\circ} \), то есть \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).

CD — биссектриса угла C, значит, \( \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

AE — биссектриса угла A, значит, \( \angle CAE = \angle BAE = \frac{\angle A}{2} \).

Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA \).

Известно, что \( \angle AOC = 105^{\circ} \) и \( \angle OCA = \angle BCD = 45^{\circ} \).

Тогда \( \angle OAC = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ} \).

Так как AE — биссектриса угла A, то \( \angle OAC = \angle CAE = \frac{\angle A}{2} \).

Следовательно, \( \angle A = 2 \cdot \angle OAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Теперь найдём угол B: \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Меньший острый угол треугольника ABC — это \( \angle B \).

Ответ: 30°.